Profesora: Giménez María Laura
Curso: 6 año
Alumno:
Fecha y hora de entrega 17/3/2020 hora 12:30
Examen de Matemática
martes, 17 de marzo de 2020
lunes, 16 de marzo de 2020
Fractales en todos lados!
Fractales, Matemáticas y Arte.
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| Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. |
El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
- Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
- Es autosimilar, su forma está hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma, pero diferente tamaño.
Los fractales son un pieza fundamental para la ciencia actual y ha permitido desarrollar y avanzar en el mundo de la informática, por ejemplo, para crear dispositivos cada vez más pequeños, desde móviles a microchips casi invisibles, también en el mundo visual a través de animaciones en 3 dimensiones, nacieron empresas como pixar y se expandieron empresas de video juegos como Electronic Arts o Nintendo.
CONOCEMOS LOS FRACTALES
🍀Fractales naturales son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. (por ejemplo, a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica). Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
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| Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos en que los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende solo a un rango de escalas |
Ejemplos: Una coliflor, que parece estar a su vez compuesta de pequeñas coliflores, una nube, cuyos fragmentos parecen mostrar la misma estructura que la nube en su globalidad o un árbol cuyo ramaje parece repetirse a menor escala cada vez que las ramas se bifurcan.
💎Conjunto de Mandelbrot es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
Una nube está hecha de billones de billones de billones que parecen nubes. Mientras más te acercas a una nube no obtienes algo suave, sino irregularidades a una escala más pequeña. -Benoît B. Mandelbrot
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| Mandelbrot estudió un área de la matemática desde una perpestiva completamente distinta, y se le considera el padre de la geometría fractal. |
Esta propiedad, denominada autosemejanza, es la que define de modo práctico los fractales y que debe ser empleada en su enseñanza cuando no exista un alto grado de especialización matemática.
🏙Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
🌈El arte de las imégenes fractales. Las imágenes fractales están basadas en matemáticas, calculadas mediante algoritmos matemáticos, coloreadas empleando procedimientos matemáticos, pero no están determinadas por las matemáticas.
Casi todas las expresiones del Arte dependen de las herramientas empleadas en su creación y ejecución: pinceles y brochas, cámaras fotográficas, instrumentos musicales, martillo y cincel, etc. son imprescindibles en la creación artística de su correspondiente disciplina. De la misma manera, el ordenador sólo debe considerarse como una herramienta en el proceso de creación de una imagen fractal.
Podríamos incluso decir que el ordenador es un mero instrumento, necesario para organizar las ecuaciones, parámetros, algoritmos y transformaciones empleados para sintetizar el Arte Fractal. Pero jamás un ordenador podría ser responsable de una obra de arte sin el respaldo de una mente humana que supervise la toma de decisiones en cada fase del proceso.
Sólo existe un Guernica de Picasso, un David de Miguel Ángel, pero pueden coexistir un número ilimitado de copias de cualquier obra maestra fractal sin poder discernir cual de entre todas es la original. En este aspecto, el Arte Fractal guarda similitudes con la Fotografía, una disciplina cuyo reconocimiento como Arte también se vio rodeada de escepticismo en sus inicios.
PROPUESTA DIDÁCTICA
1. Construí un vídeo que contenga la definición de fractal , propiedades ( describí la propiedad y Mostra con un ejemplo de fractal cada una de ellas)
2. Construí en formato tridimensional los siguientes fractales:
A) Escalera de cantor
B) triángulo de sierpinski.
( Se debe hacer en papel )
C) Dibuja en el plano los fractales del punto 2A y 2B
Este trabajo debe entregarse el lunes 30/3.
martes, 1 de septiembre de 2015
¿En qué se aplican las funciones cuadráticas?
Veamos aplicaciones de la función cuadrática en algunos temas de Física.
I) si desde el suelo ( a nivel del mar) se arroja un objeto verticalmente hacia arriba, la altura a la que llega depende de la velocidad con la que se lo tira.
Esa altura, que es función de la velocidad inicial, se calcula con la siguiente fórmula:
h(v)=(1/2g)*v^2, donde g= 9,8m/seg^2 es la aceleración de la gravedad.
Si calculamos 1/2g= (1/19,6 )*m/seg^2= 0,05seg^2/m (aproximadamente)
La función con la que se obtiene la altura dependiendo de la velocidad inicial es:
h(v)= (0,05seg^2/m)*v^2. El dominio de esta función son todas las velocidades posibles.
II) Otro tipo de movimiento que estudia la Física es la "caída libre", es decir un cuerpo que cae desde una altura determinada por acción exclusiva de la gravedad. A la altura inicial se la denomina h0 ; g es la aceleración de la gravedad (9,8m/seg^2 en todos los casos). Para calcular a qué altura está el cuerpo en un instante sado se emplea la fórmula h(t)= h0-1/2gt^2. Ésta es una función cuadrática en la cual el coeficiente principal es -1/2g, el coeficiente del término de primer rado es 0 y el término independiente es h0; la variable independiente es t (tiempo) y la variable dependiente es h (altura).
I) si desde el suelo ( a nivel del mar) se arroja un objeto verticalmente hacia arriba, la altura a la que llega depende de la velocidad con la que se lo tira.
Esa altura, que es función de la velocidad inicial, se calcula con la siguiente fórmula:
h(v)=(1/2g)*v^2, donde g= 9,8m/seg^2 es la aceleración de la gravedad.
Si calculamos 1/2g= (1/19,6 )*m/seg^2= 0,05seg^2/m (aproximadamente)
La función con la que se obtiene la altura dependiendo de la velocidad inicial es:
h(v)= (0,05seg^2/m)*v^2. El dominio de esta función son todas las velocidades posibles.
II) Otro tipo de movimiento que estudia la Física es la "caída libre", es decir un cuerpo que cae desde una altura determinada por acción exclusiva de la gravedad. A la altura inicial se la denomina h0 ; g es la aceleración de la gravedad (9,8m/seg^2 en todos los casos). Para calcular a qué altura está el cuerpo en un instante sado se emplea la fórmula h(t)= h0-1/2gt^2. Ésta es una función cuadrática en la cual el coeficiente principal es -1/2g, el coeficiente del término de primer rado es 0 y el término independiente es h0; la variable independiente es t (tiempo) y la variable dependiente es h (altura).
III) Se denomina " movimiento rectilíneo uniformemente variado acelerado" al que se realiza en línea recta y en el que la aceleración se mantiene constante.
Para calcular el espacio recorrido por un móvil es necesario conocer su posición inicial (e0), su velocidad inicial (v0) y su aceleración (a). Con estos datos, el espacio recorrido (e) es función del tiempo:
e(t)=e0+v0t+1/2at^2
El dominio de esta función está formado por todos los valores que puede tomar el tiempo; t es la variable independiente y e la variable dependiente.
Si la aceleración es nula (a=0), en otras palabras la velocidad es constante, la función para calcular el espacio recorrido es lineal:
e(t)=e0+v0t
 |
| MRUV |
Se vienen los problemas...!!!!
26. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza un objeto arrojado hacia arriba verticalmente, con velocidad inicial de 10 m/seg?
27. A pablito se le cayó una pelota por la ventana de su habitación, que está a 27 m del suelo, y quedó en el balcón de su amigo Federico. Si éste la recibió 2 segundos después, ¿a qué altura, respecto del suelo, está su balcón?.
28. Nicolás partió de su casa en bicicleta y llegó a la cima de una cuesta, con una velocidad de 30km/h tras recorrer 100m. Si bajó con una aceleración constante de 2/9 (m/seg^2), ¿ Cuántp recorrió en total desde que salió de su casa hasa que llegó al pie de la cuesta, si empleó 9 segundos en bajarla? ( deben trabajar con las mismas unidades de tiempo y longitud)
Algo más sobre los ceros de la función cuadrática
Como ya dijimos, para hallar los ceros de una función cuadrática cualquiera debemos resolver la ecuación cuadrática correspondiente. Pero, si la ecuación esta completa, no se puede resolver como lo hicimos hasta ahora. Una forma de resolver las ecuaciones del tipo :
El doble signo (+,-) es una forma abreviada de escribir que un cero se halla sumando y el otro, restando.
a modo de ejemplo:
Continua practicando
25. a) Hallen los ceros de las funciones f: R->r/ f(x)= -2x^2+5/3x-1/3 ; g: R->R/ g(x)= 1/2x^2+ 2x+2
y h: R->R/ h(x)= x^2+3x+17
b) Grafíquenlas y observen la relación entre sus ceros y la posición respecto del eje x de cada una.
c) En las tres funciones el dominio y el conjunto de llegada son los números reales. Observen el gráfico. ¿Cuál es el conjunto imagen de cada una?.
a modo de ejemplo:
Continua practicando
25. a) Hallen los ceros de las funciones f: R->r/ f(x)= -2x^2+5/3x-1/3 ; g: R->R/ g(x)= 1/2x^2+ 2x+2
y h: R->R/ h(x)= x^2+3x+17
b) Grafíquenlas y observen la relación entre sus ceros y la posición respecto del eje x de cada una.
c) En las tres funciones el dominio y el conjunto de llegada son los números reales. Observen el gráfico. ¿Cuál es el conjunto imagen de cada una?.
Ceros de una función y Ecuaciones.
Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente (x) cuya imagen es igual a 0.
Para averiguar cuales son los ceros de la función propuesta f(x)=2x-1, cuyo gráfico es una recta, se plantea la ecuación:
2x-1=0
resolviendo esta ecuación se obtiene que x=1/2, en este caso, el único cero.
Para hallar los ceros de cualquier función, se hace
f(x)=0
Ahora bien, si f(x)=x^2-9, podemos hallar sus ceros planteando una ecuación cuadrática:
x^2-9=0 -> |x|=3 -> x=3 ó x=-3
El conjunto de ceros de esta función es C={3;-3}.
Si una función no tiene ceros en R, el conjunto de ceros es el vacío y se indica C={}
Gráficamente, los ceros de una función cualquiera (si los tiene) son abscisas de los puntos en los que el gráfico corta al eje x ( recordemos que la ecuación del eje x es y=0
Practica...
23. Resuelvan las siguientes ecuaciones
a) -(x-1)*(x+2)=2
b) (x-3)*(x+12)=9x
c) 5x*(x+3)-2=(x-1)*(x+2)
24. Hallen, si existe, los ceros de las siguientes funciones:
a) f: R->R/ f(x)=3x^2-27
b) g: R->R/ g(x)=-5x^2+20
c) Hallen los vértices de f(x) y g(x), luego grafiquen ambas funciones.
2x-1=0
resolviendo esta ecuación se obtiene que x=1/2, en este caso, el único cero.
Para hallar los ceros de cualquier función, se hace
f(x)=0
Ahora bien, si f(x)=x^2-9, podemos hallar sus ceros planteando una ecuación cuadrática:
x^2-9=0 -> |x|=3 -> x=3 ó x=-3
El conjunto de ceros de esta función es C={3;-3}.
Si una función no tiene ceros en R, el conjunto de ceros es el vacío y se indica C={}
Gráficamente, los ceros de una función cualquiera (si los tiene) son abscisas de los puntos en los que el gráfico corta al eje x ( recordemos que la ecuación del eje x es y=0
Practica...
23. Resuelvan las siguientes ecuaciones
a) -(x-1)*(x+2)=2
b) (x-3)*(x+12)=9x
c) 5x*(x+3)-2=(x-1)*(x+2)
24. Hallen, si existe, los ceros de las siguientes funciones:
a) f: R->R/ f(x)=3x^2-27
b) g: R->R/ g(x)=-5x^2+20
c) Hallen los vértices de f(x) y g(x), luego grafiquen ambas funciones.
Vértice y Eje de la parábola
Vamos a estudiar cómo se calcula las coordenadas del vértice y la ecuación del eje, que es una recta vertical.
Toda ecuación de la forma y= ax^2 + bx+c, en los reales, tiene como gráfica una parábola de eje vertical.
Las coordenadas del vértice de la parábola dependen de los valores de los coeficientes. Llamemos V al vértice y (xv;yv) a sus coordenadas.
Dada f: R->R/ f(x)=ax^2+ bx+c, la abscisa de su vértice es xv=-b/2a, donde b es el coeficiente del término de primer grado y a el coeficiente principal o cuadrático.
Una vez calculado xv, para hallar yv basta con calcular la imagen de xv, ya que el vértice es un punto que pertenece a la parábola; o sea que yv=f(xv).
El eje es una recta vertical que corta la parábola en el vértice, su ecuación es: x=xv ( recuerden que xv es la abscisa del vértice).
Ejemplo: t: R->R7 /t(x)= x^2-4x+3
xv=-(-4)/2*1
xv=2
yv=t(2)= 2^2-4*2+3
yv=-1
Entonces el vértice es, en este caso, V=(2;-1). Además la ecuación del eje es x=2
Este punto que hemos hallado es de fundamental importancia si se desea graficar la parábola, ya que, a partir de él, y eligiendo un par de valores de x a su derecha y otro a su izquierda, es posible hacer un gráfico aproximado.
Intentalo vos...
22. Dada f: R->R/ f(x)=2x^2+ 4x+2:
a) Hallen las coordenadas del vértice.
b) Hagan una tabla de valores que lo incluya, tomen dos valores de x mayores y dos menores que xv y tracen un gráfico aproximado.
Toda ecuación de la forma y= ax^2 + bx+c, en los reales, tiene como gráfica una parábola de eje vertical.
Las coordenadas del vértice de la parábola dependen de los valores de los coeficientes. Llamemos V al vértice y (xv;yv) a sus coordenadas.
Dada f: R->R/ f(x)=ax^2+ bx+c, la abscisa de su vértice es xv=-b/2a, donde b es el coeficiente del término de primer grado y a el coeficiente principal o cuadrático.
Una vez calculado xv, para hallar yv basta con calcular la imagen de xv, ya que el vértice es un punto que pertenece a la parábola; o sea que yv=f(xv).
El eje es una recta vertical que corta la parábola en el vértice, su ecuación es: x=xv ( recuerden que xv es la abscisa del vértice).
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| y=ax^2+bx+c |
xv=-(-4)/2*1
xv=2
yv=t(2)= 2^2-4*2+3
yv=-1
Entonces el vértice es, en este caso, V=(2;-1). Además la ecuación del eje es x=2
Este punto que hemos hallado es de fundamental importancia si se desea graficar la parábola, ya que, a partir de él, y eligiendo un par de valores de x a su derecha y otro a su izquierda, es posible hacer un gráfico aproximado.
Intentalo vos...
22. Dada f: R->R/ f(x)=2x^2+ 4x+2:
a) Hallen las coordenadas del vértice.
b) Hagan una tabla de valores que lo incluya, tomen dos valores de x mayores y dos menores que xv y tracen un gráfico aproximado.
Avanzamos!!! Funciones cuadráticas...
L a forma general de la función cuadrática es de f: R->R7 f(x)= ax^2+ bx+ c, donde a, b y c son números reales cualesquiera, pero con a distinto de cero, ya que si fuera igual a cero sería una función lineal. Su dominio y su conjunto de llegada son los números reales.
Al graficar una función cuadrática se obtiene una curva que recibe el nombre de parábola.
A continuación representamos dos parábolas:
Las rectas punteadas que están dibujadas son los respectivos ejes de simetría. La intersección de la parábola con su eje se llama vértice. Recordemos que todo punto de la parábola tiene su simétrico respecto de él en la parábola.
La ordenada al origen es aquel punto en donde la gráfica atraviesa o corta al eje y.
Las raíces o ceros de una función son aquellos valores en donde la gráfica corta al eje x.
El signo de a determina la concavidad de la parábola. Si a>0 la parábola es cóncava hacia arriba.
Si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo.
Continualo...
20. Observen, en ambos gráficos, cuál es el conjunto imagen. ¿A qué intervalo corresponde cada uno de ellos?.
21. Si g: R->R/ g(x)=x^2-2
a) Hallen las imagenes de : 0; -2; -1; 2 y 1
b) Dibujen en un sistema de coordenadas cartesianas y ubiquen en él los puntos hallados en a)
c) Tracen un gráfico aproximado de la parábola que corresponde a la función g, tomando como base esos puntos.
Al graficar una función cuadrática se obtiene una curva que recibe el nombre de parábola.
A continuación representamos dos parábolas:
Las rectas punteadas que están dibujadas son los respectivos ejes de simetría. La intersección de la parábola con su eje se llama vértice. Recordemos que todo punto de la parábola tiene su simétrico respecto de él en la parábola.
La ordenada al origen es aquel punto en donde la gráfica atraviesa o corta al eje y.
Las raíces o ceros de una función son aquellos valores en donde la gráfica corta al eje x.
El signo de a determina la concavidad de la parábola. Si a>0 la parábola es cóncava hacia arriba.
Si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo.
Continualo...
20. Observen, en ambos gráficos, cuál es el conjunto imagen. ¿A qué intervalo corresponde cada uno de ellos?.
21. Si g: R->R/ g(x)=x^2-2
a) Hallen las imagenes de : 0; -2; -1; 2 y 1
b) Dibujen en un sistema de coordenadas cartesianas y ubiquen en él los puntos hallados en a)
c) Tracen un gráfico aproximado de la parábola que corresponde a la función g, tomando como base esos puntos.
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