Ciertas relaciones tienen una importancia especial; son aquellas en las cuales todos los elementos del conjunto de partida tienen una y sola una imagen. Estas relaciones se denominan funciones.
Muchos fenómenos de la naturaleza y otros hechos estudiados por el hombre se pueden representar con funciones, de allí su importancia. Por ejemplo, la relación de cada persona con su grupo sanguíneo es una función, porque todos tenemos un solo grupo sanguíneo, es decir que todo elemento del conjunto de partida tiene imagen y ésta es única. Aquí nos interesan aquellas funciones que se definen entre conjuntos de números.
Ejemplo: la expresión f:Z->Z/f(x)=3x, que se lee "f de Z en Z tal que f de x es 3x", significa que , en la relación f, a cada número entero le corresponde su triple. En general, para referirsea la imagen de x se escribe simplemente f(x). Por ejemplo, la imagen de -2 es -6 y se escribe f(-2)=-6.
Podemos asegurar que f es una función porque todos los elementos del conjunto de partida ( los enteros) tienen su triple, o sea su imagen, en el conjunto de llegada ( los enteros) y esa imagen es única. El dominio de esta función es Z ( el conjunto de los enteros) y el conjunto imagen son los enteros múltiplos de 3. Es habitual designar las funciones con letras minúsculas.
Probamos...
10. La relación f: Z->Z/f(x)=x-2, ¿es función?, ¿por qué?
a) ¿Cuál es la imagen de -8?.
b) ¿Cuál es la preimagen de -9?
11. La relación g: Z->Z/g(x)=x^2, ¿es función?, ¿porqué?.
a)¿Cuál es la imagen de 6?, ¿y la de -6?.
b) ¿Qué preimagenes tiene 16?.
c)¿Cuál es la preimagen de 5?, ¿ Por qué?.
lunes, 31 de agosto de 2015
Buscando relaciones...
Dados dos conjuntos ( que pueden ser iguales o distintos), todo subconjunto del producto cartesiano entre ambos, define una relación.
Ejemplo: tomemos el conjunto X formado por los miembros de la familia de Laura (mama, papa y su hermano Andres) y el conjunto Y de sus edades: X = {1, 2, 3, 4} y Y= {a, b, c, d}.
El producto cartesiano de X x Y es:
X x Y = {(1; a), (1; b), (1; c), (1; d), (2; a), (2; b), (2;c), (2;d), (3; a), (3; b), (3; c), (3; d), (4; a),
(4; b), (4; c), (4; d)}
Si de X x Y tomamos solo aquellos pares ordenados en los que aparezcan cada integrante de la familia con su edad, tendremos el siguiente subconjunto de X x y:
R = {(1; b), (3; d), (2; c), (4; b)}
Este conjunto de pares ordenados define la relación R que a cada miembro de la familia le hace corresponder su edad, como vemos en el diagrama.
X es el conjunto de partida de la relación.
Y es el conjunto de llegada de la relación.
Se dice que R se define de X en Y para indicar que X es el conjunto de partida e Y, el de llegada.
Los elementos del conjunto de partida que inetrvienen en la relación forman el dominio de ésta. Los del conjunto de llegada qie intervienen en la relación forman el conjunto imagen.
En este caso, el dominio coincide con el conjunto de partida y el conjunto imagen , con el conjunto de llegada. Pero esto no siempre es así.
Ejemplo: dados los conjuntos A={a, b, c,d} y
B={ 1,2,3,4,5,6,7} se define la relación R, de A en B haciendo corresponder a un elemento de A su siguiente (si éste pertenece a B). Es decir R={(a,1);(b,3);(c,2);(d,4)}.
En este caso, el dominio es D={a,b,c,d} y el conjunto imagen es I={1,2,3,4}.
También se dice que:
2 es la imagen de c y c es la preimagen de 2.
4 es la imagen de d y d es la preimagen de 4.
Una relación está definida por dos conjuntos ( el de partida y el de llegada) y un subconjunto del producto cartesiano entre ambos.
Practicamos?
8. La relación R hace corresponder a los elementos de H su cuadrado, en el conjunto F.
Si H={2,3,4,5} y F={x/x pertenece N y menor o igual a 20}:
a) Escriban los ´pares que pertenece a la relación.
b)¿Cuál es el dominio?¿Cuál es el conjunto imagen?.
c)¿Cuál es la imagen de 4?¿Y la preimagen de 9?
Ejemplo: tomemos el conjunto X formado por los miembros de la familia de Laura (mama, papa y su hermano Andres) y el conjunto Y de sus edades: X = {1, 2, 3, 4} y Y= {a, b, c, d}.
El producto cartesiano de X x Y es:
X x Y = {(1; a), (1; b), (1; c), (1; d), (2; a), (2; b), (2;c), (2;d), (3; a), (3; b), (3; c), (3; d), (4; a),
(4; b), (4; c), (4; d)}
Si de X x Y tomamos solo aquellos pares ordenados en los que aparezcan cada integrante de la familia con su edad, tendremos el siguiente subconjunto de X x y:
R = {(1; b), (3; d), (2; c), (4; b)}
X es el conjunto de partida de la relación.
Y es el conjunto de llegada de la relación.
Se dice que R se define de X en Y para indicar que X es el conjunto de partida e Y, el de llegada.
Los elementos del conjunto de partida que inetrvienen en la relación forman el dominio de ésta. Los del conjunto de llegada qie intervienen en la relación forman el conjunto imagen.
En este caso, el dominio coincide con el conjunto de partida y el conjunto imagen , con el conjunto de llegada. Pero esto no siempre es así.
B={ 1,2,3,4,5,6,7} se define la relación R, de A en B haciendo corresponder a un elemento de A su siguiente (si éste pertenece a B). Es decir R={(a,1);(b,3);(c,2);(d,4)}.
En este caso, el dominio es D={a,b,c,d} y el conjunto imagen es I={1,2,3,4}.
También se dice que:
2 es la imagen de c y c es la preimagen de 2.
4 es la imagen de d y d es la preimagen de 4.
Una relación está definida por dos conjuntos ( el de partida y el de llegada) y un subconjunto del producto cartesiano entre ambos.
Practicamos?
8. La relación R hace corresponder a los elementos de H su cuadrado, en el conjunto F.
Si H={2,3,4,5} y F={x/x pertenece N y menor o igual a 20}:
a) Escriban los ´pares que pertenece a la relación.
b)¿Cuál es el dominio?¿Cuál es el conjunto imagen?.
c)¿Cuál es la imagen de 4?¿Y la preimagen de 9?
Sistema de Coordenadas Cartesianas
Un sistema de coordenadas es un sistema de referencia. Para ubicarnos sobre nuestro planeta, por ejemplo, se utilizan paralelos y meridianos; para hacerlo en una ciudad, se usan los nombres de las calles.
Para ubicarnos en el plano euclidiano utilizamos un par de rectas perpendiculares llamadas ejes cartesianos. Los dos ejes forman un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales ( es decir, perpendiculares).
El eje horizontal es el de las abscisas ( se designan con la letra x) y el vertical es el de las ordenadas ( que se denotan con la letra y). El punto de intersección es el "origen de coordenadas" y corresponde al valor 0 para x e y. Sobre ambos ejes se elige una unidad y en relación con ella se ubican los números reales como se muestra en la figura.
Para ubicar puntos en el plano se utilizan pares ordenados de números reales en los que la primera componente o coordenada corresponde a las abscisas, y la segunda, a las ordenadas. Cada par ordenado de reales representa a un punto del plano, y viceversa.
Observen el gráfico dónde se ubican, por ejemplo los puntos PIII=( -2;-3) y PIV=(3,-6).
7.a) Dibujen un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales y ubiquen en él estos puntos:
M=(-1/2;3) J=(-3/4;-7/4) H=(2;0) I=(0;-4).
7.b) Dibujen un rectángulo abcd tl que A=(-5;1) y B=(-5;-3). Hay distintas formas de hacerlo; encuentren las coordenadas de los puntos C y D.
¿Por qué cartesiano?
La obra filosófica de Descartes ejerció gran influencia sobre los pensadores que le siguieron; fora parte de ella el "Discurso del Método", donde toma la Matemática como modelo y crea la Geometría Analítica, que aparece como un apéndice de su famoso "Discurso".
6. Investiguen sobre la vida y la obra de René Descartes.
¿Para qué podemos usar el producto cartesiano?
Toda diferencia entre dos números naturales da como resultado un número entero. ahora tenemos los conocimientos necesarios como para dar la definición del conjunto de los enteros (recordemos que se los denomina Z).
Z={(a,b)/aEN y bEN}
Cada par ordenado (a;b) define el número entero a-b. Esto suele escribirse (a;b)->a-b.
Decimos entonces que el conjunto de los números naturales al cuadrado (utilizando el producto carteiano: NxN=N^2) genera el conjuntos de los números enteros (Z).
Ejemplo: (7;3)-> 7-3=4, el par (4;9)=-5, (3;3)->3-3=0
Practicamos
4.a) Escriban en forma de pares ordenados de números naturales los siguientes números enteros: -8,0,15 y -1.
4.b)¿ Hay un único par posible para cada número entero? si la respuesta es negativa, ¿Cuántos hay?
Todo cociente entre dos números enteros, con el divisor distinto de cero, da como resultado un número racional. el conjunto de los números racionales (Q) puede definirse como Q={(a,b)/a EZ, bEZ y B es distinto de cero}.
Cada par ordenado (a,b) define el número racional a/b. Esto suele escribirse (a,b)->a/b.
Es decir que con el producto cartesiano ZxZ=Z^2 se genera el conjunto Q.
Ejemplos: (-2;-5)->-2/5, (12,-4)->-3, (0;7)->0
5.a) Escriban como pares ordenados de números enteros los siguientes números racionales: -14/2, 10/6, -5 y -1/7.
5.b) ¿Hay un único par posible para cada número racional? si la respuesta es negativa, ¿Cuántos hay?
Si respondieron correctamente los puntos b) de las actividades 4) y 5), habrán llegado a la conclusión, que quizá los haya sorprendido, de que existen infinitos pares de naturales que definen el mismo número entero e infinitos pares de enteros que definen el mismo número racional.
Z={(a,b)/aEN y bEN}
Cada par ordenado (a;b) define el número entero a-b. Esto suele escribirse (a;b)->a-b.
Decimos entonces que el conjunto de los números naturales al cuadrado (utilizando el producto carteiano: NxN=N^2) genera el conjuntos de los números enteros (Z).
Ejemplo: (7;3)-> 7-3=4, el par (4;9)=-5, (3;3)->3-3=0
Practicamos
4.a) Escriban en forma de pares ordenados de números naturales los siguientes números enteros: -8,0,15 y -1.
4.b)¿ Hay un único par posible para cada número entero? si la respuesta es negativa, ¿Cuántos hay?
Todo cociente entre dos números enteros, con el divisor distinto de cero, da como resultado un número racional. el conjunto de los números racionales (Q) puede definirse como Q={(a,b)/a EZ, bEZ y B es distinto de cero}.
Cada par ordenado (a,b) define el número racional a/b. Esto suele escribirse (a,b)->a/b.
Es decir que con el producto cartesiano ZxZ=Z^2 se genera el conjunto Q.
Ejemplos: (-2;-5)->-2/5, (12,-4)->-3, (0;7)->0
5.a) Escriban como pares ordenados de números enteros los siguientes números racionales: -14/2, 10/6, -5 y -1/7.
5.b) ¿Hay un único par posible para cada número racional? si la respuesta es negativa, ¿Cuántos hay?
Si respondieron correctamente los puntos b) de las actividades 4) y 5), habrán llegado a la conclusión, que quizá los haya sorprendido, de que existen infinitos pares de naturales que definen el mismo número entero e infinitos pares de enteros que definen el mismo número racional.
Producto Cartesiano.
Existen diversas operaciones entre conjuntos, pero ahora solo vereos el producto cartesiano.
Antes de considerarlo, vamos a definir par ordenado. Como su nombre lo indica, está compuesto por dos elementos, llamados componentes, dados en un cierto orden, escritos entre paréntesis y separados por una coma.
Algunos ejemplos de pares ordenados de números enteros son: (0;-3), (5;9), (-8;-2), (12;-4), (-9;1).
Ahora podemos definir producto cartesiano.
Dados dos conjuntos, A y B, se llama producto cartesiano A por B al conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda componente, al segundo conjunto.
En símbolos: AxB={(a;b)/a E A y b E B}.
Antes de considerarlo, vamos a definir par ordenado. Como su nombre lo indica, está compuesto por dos elementos, llamados componentes, dados en un cierto orden, escritos entre paréntesis y separados por una coma.
Algunos ejemplos de pares ordenados de números enteros son: (0;-3), (5;9), (-8;-2), (12;-4), (-9;1).
Ahora podemos definir producto cartesiano.
Dados dos conjuntos, A y B, se llama producto cartesiano A por B al conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda componente, al segundo conjunto.
En símbolos: AxB={(a;b)/a E A y b E B}.
- Ejemplo: si F={3,4,5} y H={5,6}, entonces FxH={(3;5),(3;6),(4;5),(4;6),(5;5),(5;6)}
La propuesta...
- Anota la posición inicial de cada una de las fichas, de ambos colores que no sean peones. (no hace falta que sepas jugar al ajedrez).
- A continuación se transcribe la apertura de una partida entre A. Nimzovich ( con blancas) y J.R Capablanca ( con negras), en 1914. A partir de la posición inicial, realiza un diagrama para cada uno de los movimientos ubicando las fichas en las posiciones indicadas. Las primeras fueron: e4,e5.....Cf3,Cc6......Cc3,Cf6.......Ab5,d6.....d4,Ad7.........Axc6,Axc6......Esta famosa partida terminó por abandono de las blancas, con el triunfo de Capablanca, campeón undial de ajedrez.
jugamos? veamos las anotaciones!
Las columnas se designan desde la "a" hasta la "h", mientras que las filas se enumeran del 1 al 8, como muestra el dibujo de arriba. Por ejemplo, al inicio de la partida el rey blanco se ubica en la casilla e1.
Las piezas se identifican con la inicial en mayúscula de su nombre, con excepción del peón, para el cual sólo se indica la casilla donde se movió. Por ejemplo, Cf3 expresa que el caballo se ha movido a la casilla designada por la columna f yla fila 3; mientras que f3 solamente indica que es el peón el que se movió a esa casilla.
Para registrar que una pieza realiza una captura se interpone "x" entre la inicial de la pieza y la casilla de arribo. Por ejemplo, Axe5 significa que el alfil se movió a la casilla e5, donde efectuó una captura. En una partida las jugadas se anotan precedidas por un número de orden seguido por un punto; se continúa con la posición de arribo de la pieza blanca, una coma y por último, la posición de arribo de la pieza negra. Por ejemplo, 1.e4,e5 significa que en la primera jugada el peón blanco quedó en la casilla e4 y el peón negro quedó en la casilla e5.
Recordando reglas..
 |
| movimiento de las piezas |
- Rey (pieza blanca): puede desplazarse a cualquiera de las casillas que lo rodean.
- Dama o Reina (pieza negra): se mueve como el rey; pero sin límites de casillas.
- Torre (pieza negra): puede ir por todas las casillas de la línea y de la columna a las que pertenece la casilla que se encuentra.
- Alfil (pieza blanca): se mueve por las diagonales que se cruzan en las casilla.
- Caballo ( pieza negra): salta la casilla que lo rodea y se coloca en cualquiera de las dos casillas ubicadas en diagonal a la que salto.
- Peón (pieza blanca menor): la primera vez puede desplazarse 1 o 2 casillas hacia adelante, después sólo avanzará de a una casilla. Es la única pieza que no retrocede. Captura piezas ubicadas en cualquiera de las dos casillas diagonales delanteras.
El ajedrez, un juego de táctica.
Para llevar un registro de la partida hay que anotar en forma abreviada la ubicación de las piezas y cada movimiento realizado. Hay varias formas de hacerlo, pero la más común es la denominada "anotación algebraica"
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