¿En qué se aplican las funciones cuadráticas?

Veamos aplicaciones de la función cuadrática en algunos temas de Física.

 I) si desde el suelo ( a nivel del mar) se arroja un objeto verticalmente hacia arriba, la altura a la que llega depende de la velocidad con la que se lo tira.
 Esa altura, que es función de la velocidad inicial, se calcula con la siguiente fórmula:

h(v)=(1/2g)*v^2, donde g= 9,8m/seg^2 es la aceleración de la gravedad.

Si calculamos 1/2g= (1/19,6 )*m/seg^2= 0,05seg^2/m (aproximadamente)

La función con la que se obtiene la altura dependiendo de la velocidad inicial es:

h(v)= (0,05seg^2/m)*v^2. El dominio de esta función son todas las velocidades posibles.

II) Otro tipo de movimiento que estudia la Física es la "caída libre", es decir un cuerpo que cae desde una altura determinada por acción exclusiva de la gravedad. A la altura inicial se la denomina h0 ; g  es la aceleración de la gravedad (9,8m/seg^2 en todos los casos). Para calcular a qué altura está el cuerpo en un instante sado se emplea la fórmula h(t)= h0-1/2gt^2. Ésta es una función cuadrática en la cual el coeficiente principal es -1/2g, el coeficiente del término de primer rado es 0 y el término independiente es h0; la variable independiente es t (tiempo) y la variable dependiente es h (altura).

III) Se denomina " movimiento rectilíneo uniformemente variado acelerado" al que se realiza en línea recta y en el que la aceleración se mantiene constante.

Para calcular el espacio recorrido por un móvil es necesario conocer su posición inicial (e0), su velocidad inicial (v0) y su aceleración (a). Con estos datos, el espacio recorrido (e) es función del tiempo: 

                       e(t)=e0+v0t+1/2at^2

El dominio de esta función está formado por todos los valores que puede tomar el tiempo; t es la variable independiente y e la variable dependiente.

Si la aceleración es nula (a=0), en otras palabras la velocidad es constante, la función para calcular el espacio recorrido es lineal:

                       e(t)=e0+v0t

MRUV

Se vienen los problemas...!!!!

26. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza un objeto arrojado hacia arriba verticalmente, con velocidad inicial de 10 m/seg?

27. A pablito se le cayó una pelota por la ventana de su habitación, que está a 27 m del suelo, y quedó en el balcón de su amigo Federico. Si éste la recibió 2 segundos después, ¿a qué altura, respecto del suelo, está su balcón?.

28. Nicolás partió de su casa en bicicleta y llegó a la cima de una cuesta, con una velocidad de 30km/h tras recorrer 100m. Si bajó con una aceleración constante de  2/9 (m/seg^2), ¿ Cuántp recorrió en total desde que salió de su casa hasa que llegó al pie de la cuesta, si empleó 9 segundos en bajarla? ( deben trabajar con las mismas unidades de tiempo y longitud)

Algo más sobre los ceros de la función cuadrática

Como ya dijimos, para hallar los ceros de una función cuadrática cualquiera debemos resolver la ecuación cuadrática correspondiente. Pero, si la ecuación esta completa, no se puede resolver como lo hicimos hasta ahora. Una forma de resolver las ecuaciones del tipo :

 El doble signo (+,-) es una forma abreviada de escribir que un cero se halla sumando y el otro, restando.

a modo de ejemplo:
   

Continua practicando
25. a) Hallen los ceros de las funciones f: R->r/ f(x)= -2x^2+5/3x-1/3 ; g: R->R/ g(x)= 1/2x^2+ 2x+2

   y h: R->R/ h(x)= x^2+3x+17

      b) Grafíquenlas y observen la relación entre sus ceros y la posición respecto del eje x de cada una.

      c) En las tres funciones el dominio y el conjunto de llegada son los números reales. Observen el gráfico. ¿Cuál es el conjunto imagen de cada una?.

Ceros de una función y Ecuaciones.

Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente (x) cuya imagen es igual a 0.

Para averiguar cuales son los ceros de la función propuesta f(x)=2x-1, cuyo gráfico es una recta, se plantea la ecuación:
 
                   2x-1=0

resolviendo esta ecuación se obtiene que x=1/2, en este caso, el único cero.

Para hallar los ceros de cualquier función, se hace

                   f(x)=0









Ahora bien, si f(x)=x^2-9, podemos hallar sus ceros planteando una ecuación cuadrática:

                                         x^2-9=0 -> |x|=3 -> x=3 ó x=-3

El conjunto de ceros de esta función es C={3;-3}.

Si una función no tiene ceros en R, el conjunto de ceros es el vacío y se indica C={}

Gráficamente, los ceros de una función cualquiera (si los tiene) son abscisas de los puntos en los que el gráfico corta al eje x ( recordemos que la ecuación del eje x es y=0

Practica...

23. Resuelvan las siguientes ecuaciones

    a) -(x-1)*(x+2)=2

    b) (x-3)*(x+12)=9x

    c) 5x*(x+3)-2=(x-1)*(x+2)

24. Hallen, si existe, los ceros de las siguientes funciones:

    a) f: R->R/ f(x)=3x^2-27

    b) g: R->R/ g(x)=-5x^2+20

    c) Hallen los vértices de f(x) y g(x), luego grafiquen ambas funciones.

Vértice y Eje de la parábola

Vamos a estudiar cómo se calcula las coordenadas del vértice y la ecuación del eje, que es una recta vertical.
Toda ecuación de la forma y= ax^2 + bx+c, en los reales, tiene como gráfica una parábola de eje vertical.
Las coordenadas del vértice  de la parábola dependen de los valores de los coeficientes. Llamemos V al vértice y (xv;yv) a sus coordenadas.

Dada f: R->R/ f(x)=ax^2+ bx+c, la abscisa de su vértice es xv=-b/2a, donde b es el coeficiente del término de primer grado y a el coeficiente principal o cuadrático.
Una vez calculado xv, para hallar yv basta con calcular la imagen de xv, ya que el vértice es un punto que pertenece a la parábola; o sea que yv=f(xv).

El eje es una recta vertical que corta la parábola en el vértice, su ecuación es: x=xv ( recuerden que xv es la abscisa del vértice).

y=ax^2+bx+c

Ejemplo: t: R->R7 /t(x)= x^2-4x+3

xv=-(-4)/2*1
xv=2

yv=t(2)= 2^2-4*2+3
yv=-1

Entonces el vértice es, en este caso, V=(2;-1). Además la ecuación del eje es x=2


Este punto que hemos hallado es de fundamental importancia si se desea graficar la parábola, ya que, a partir de él, y eligiendo un par de valores de x a su derecha y otro a su izquierda, es posible hacer un gráfico aproximado.


Intentalo vos...

22. Dada f: R->R/ f(x)=2x^2+ 4x+2:

    a) Hallen las coordenadas del vértice.

    b) Hagan una tabla de valores que lo incluya, tomen dos valores de x mayores y dos menores que           xv y tracen un gráfico aproximado.

Avanzamos!!! Funciones cuadráticas...

L a forma general de la función cuadrática es de f: R->R7 f(x)= ax^2+ bx+ c, donde a, b y c son números reales cualesquiera, pero con a distinto de cero, ya que si fuera igual a cero sería una función lineal. Su dominio y su conjunto de llegada son los números reales.
Al graficar una función cuadrática se obtiene una curva que recibe el nombre de parábola.
 A continuación representamos dos parábolas:

Las rectas punteadas que están dibujadas son los respectivos ejes de simetría. La intersección de la parábola con su eje se llama vértice. Recordemos que todo punto de la parábola tiene su simétrico respecto de él en la parábola.
La ordenada al origen es aquel punto en donde la gráfica atraviesa o corta al eje y.
Las raíces o ceros de una función son aquellos valores en donde la gráfica corta al eje x.
El signo de a determina la concavidad de la parábola. Si a>0 la parábola es cóncava hacia arriba.
Si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo.










Continualo...

20. Observen, en ambos gráficos, cuál es el conjunto imagen. ¿A qué intervalo corresponde cada uno de ellos?.

21. Si g: R->R/ g(x)=x^2-2

    a) Hallen las imagenes de : 0; -2; -1; 2 y 1
    b) Dibujen en un sistema de coordenadas cartesianas y ubiquen en él los puntos hallados en a)
    c) Tracen un gráfico aproximado de la parábola que corresponde a la función g, tomando como              base esos puntos.

en la Física: Magnitudes directamente proporcionales.

Las magnitudes directamente proporcionales se relacionan porque crecen o decrecen a la vez, de manera que al duplicarse una se duplica la otra, y si una se divide por tres, la otra también lo hace.
Ejemplos de estas magnitudes son el precio y la cantidad de unidades que se compran, la superficie que se pinta y cantidad de pintura que se utiliza; la cantidad de camisas iguales que se confeccionan y la tela que se emplea, etc.
 El cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales distintas de cero es un valor constante llamado constante de proporcionalidad. Si se considera una de las magnitudes directamente proporcionales como variable dependiente y la otra como variable independiente, se obtiene la ecuación de una recta de la forma y=mx.


Ejemplo:

el espacio y el tiempo también son magnitudes que se relacionan en forma proporcional

la constante de proporcionalidad esta dada por : K=40/5;80/10;120/15;160/20;200/25=8

Observen la tabla de valores. Si llamamos x al espacio recorrido en metros e y al tiempo en segundos; la ecuación de la recta que expresa el tiempo en  función del espacio recorrido es:

                                                                       y=8x

Responde:

19.a) Grafiquen la recta que corresponde a la situación expresada.
   
     b) Den tres ejemplos de magnitudes directamente proporcionales en  el área de la física.

     c) Al armar la ecuación de la recta que representa una función de proporcionalidad directa, ¿ en qué lñugar pondrían la constante de proporcionalidad k? ¿ Cuánto vale, en este caso, la ordenada al origen?.

Rectas Verticales

Hemos estudiado que cada ecuación del tipo y=mx+b, en los número reales, corresponde a una recta del plano, para cualquier valor de m y b. ¿Todas las rectas del plano tienen una ecuación de este tipo? la respuesta es no.

Si m es distinto de cero, se obtienen rectas oblicuas con respecto a los ejes. si m=0, se obtienen rectas horizontales, paralelas al eje x.

Las rectas verticales, paralelas al eje y,  no son la representacióngráfica de este tipo de ecuación, sino de otra de la forma x=k, siendo  cualquier número real. Las rectas verticales NO representan FUNCIONES,  el dominio es un único valor de x y a él le corresponden infinitas imágenes.

Ahora vos...

18. Grafiquen las rectas x=-1/2; x=3/2; y=2. ¿Cuáles de ellas representan funciones?.
a) ¿ Qué tipo de cuadrilátero determinan?
b) Pongan nombre a os vértices y escriban sus coordenadas.


EN RESUMEN...

Función Lineal

Hasta ahora hemos graficado funciones lineales, denominadas así porque la variable (x) aparece, a lo sumo, con exponente 1 y sus gráficos son rectas no verticales.

La función lineal tiene la siguiente fórmula f(x)= mx+b, donde m y b son dos números reales cualesquiera. Consideraremos que el dominio de la función lineal es R, ya que es el conjunto más amplio en el que ella puede definirse.


EL GRÁFICO DE LA FUNCIÓN LINEAL ES LA RECTA DE ECUACIÓN....y=mx+b

Ejemplos: aunque dos puntos determinen una recta, para graficarla es conveniente hallar por lo menos tres puntos; de ese modo, si los puntos están alineados, tendremos la certeza de no haber cometido ningún error.

I) g: R->R/ g(x)=2x
en este caso m=2 y b=0




II) h: R->R/ h(x)= 3. En este caso m=0 y b= 3. Si m=0, la función se llama constante y toma el mismo valor para todos los elementos de su dominio.

III)  En este caso relacionaremos la oferta de un producto y su precio; en otras palabras el precio sera nuestra "x" y la oferta del producto nuestra "y"
 En símbolos:

q=y= oferta del producto.
p=x=precio

hacemos el reemplazo de variables y obtenemos:

y=20x-40        ó      q=20p-40

m=20   y b=-40



Ahora te toca a vos...!!! 

16.a) Dibujen la gráfica de t: R->R/ t(x)=-3x.
 
     b) ¿Cuánto vale m? ¿Y b?

     c) Cambien el valor de b y grafiquen la recta que corresponde a la función que obtuvieron. ¿Cómo es esa recta comparada con t(x)?


17. El alquiler de un salón de fiestas cuesta $ 1200; si se incluye la cena, ésta tiene un costo de $30 por persona.

a)¿ Cuánto hay que pagar por una fiesta con cena y 80 invitados?¿Si son 150 invitados?

b) Escriban la función que da el precio de una fiesta según el número de invitados.

Funciones en el conjunto de los números reales

En matemática interesan especialmente las funciones cuyo dominio y conjunto de llegada son los números reales.
Vamos  graficar una función del tipo f: R->R/ f(x)=3x-5
Construimos una tabla de valores que nos ayude a realizar el gráfico de fy, con los valores obtenidos, representamos:

En el gráfico que acabamos de dibujar los pares quedan sobre una recta que es el gráfico d ela función. Como el dominio son los números reales, a cada punto del eje x le corresponde una imagen.
En los casos en que una función se utiliza para resolver un problema o describir un fenómeno de la realidad, hay que tener especial cuidado al definir su dominio. Si la variable es una longitud o un precio, por ejemplo, no tiene sentido que sean negativos. En cada situación hay que determinar el dominio según las variables con las que se está trabajando.

Matemática e Historia

Nicolás Oresme

Las primeras representaciones gráficas aparecen en 1370, en los trabajos de Nicolás Oresme. Mucho después, Pierre de Fermat y René Descartes ( a principios del S. XVII) las mejorarían.

Isaax Newton y Gottfried Leibniz ( en la segunda mitad del S. XVII) estudiaron las curvas, y sus máximos y mínimos. Leibniz utilizó por primera vez el nombre de "función" para este tipo de relaciones.

El siguiente aporte importante es de Leonhard Euler, en 1748, quien proporciona una clasificación y un nuevo concepto de función, aunque éste ya no se utiliza en el presente.

Las funciones son muy importantes fuera d ela matemática. Por ejemplo, los trazados de electrocardiogramas y electroencefalogramas son funciones, así como los cuadros de mareas, útiles para la navegación.

Aprendemos viajando en el tiempo...

15. Elijan uno de estos cuatros matemáticos: P.Fermat, R. Descartes, I.Newton, y G.Leibniz e investiguen sobre su vida y obra.

16.Busquen ejemplos de funciones en la realidad que los rodea. Verifiquen que cumplan con la condición dada.

Gráficos de Funciones

Para graficar funciones en el plano se utilizan coordenadas cartesianas. Sobre el eje x se toma el valor de la variable independiente ( que pertenece al dominio de la función) y sobre el eje y, el valor de su imagen (y es la variable dependiente). Así, cada par ordenado de la función es representar por un punto del plano.

Ejemplo: Dada la tabla de valores  se construye un gráfico que corresponden a los puntos de la misma.
Observemos que en este caso la tabla no define la función, sino que sólo muestra algunos puntos representativos.
Mirando el gráfico, podemos ver que todos los puntos pertenecen a una misma recta; pero no es correcto dibujar la recta completa, porque el dominio son los enteros y entre uno de los puntos dibujados y otro consecutivo ninguno pertenece a la función. El dominio de esta función es discreto.
El gráfico sólo muestra algunos puntos que corresponden a la función. No hay más remedio que aceptar esto porque, como el dominio tiene infinitos elementos, es imposible representarlos a todos.


Ahora ustedes...

14.a) Grafiquen h: Z->Z/ h(x)=-x+1 y f: Z->Z7f(x)=3x.
     b) En una panadería, la docena de masas alemanas cuesta $6; pero los clientes suelen comprarlas por unidad. Hagan un gráfico de una función en la que a cada número de facturas le corresponda su precio (desde una factura hasta una docena)